यदि $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$,$|x| < 1$ है,तो $f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \sin x + \tan x + \operatorname{sgn}(x^2 - 6x + 10)$ है (जहाँ $\operatorname{sgn}$ साइनम फलन है):

$ A $ एक समुच्चय है जिसमें $ 6 $ भिन्न अवयव हैं। $ A $ से $ A $ तक के उन भिन्न फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए जो आच्छादक (bijection) नहीं हैं।

मान लीजिए $f(x) = [x]^2 - [x+3] - 3, x \in \mathbb{R}$, जहाँ $[\bullet]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो:

मान लीजिए $A=\{-1, 0, 1, 2\}$ और $B=\{-4, -2, 0, 2\}$ हैं। मान लीजिए $f, g: A \rightarrow B$ ऐसे फलन हैं जो $x \in A$ के लिए $f(x)=x^{2}-x$ और $x \in A$ के लिए $g(x)=2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1$ द्वारा परिभाषित हैं। क्या $f$ और $g$ समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

यदि $f(x) = \cos(\log x)$ है,तो $f(x^2) \cdot f(y^2) - \frac{1}{2} \left[ f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) + f(x^2 y^2) \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।